内容正文:
§2.4 一元二次不等式 学生用书P27
学生用书P27
1.理解一元二次不等式的概念及一般形式.
2.会用配方法或图象法等方法解一元二次不等式.
学生用书P27
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式不等式叫做一元二次不等式.它的一般形
式是: .
2.一元二次不等式的解法
(1)配方法:首先将一元二次不等式ax2+bx+
c>0或ax2+bx+c<0(a>0)利用配方法化为:
x+b2a
2
>b
2-4ac
4a2
或 x+b2a
2
<b
2-4ac
4a2
的
形式.
①当Δ=b2-4ac>0时,x+b2a
2
>b
2-4ac
4a2
等价
于 x+b2a >
b2-4ac
2a
,
即x+b2a>
b2-4ac
2a
或x+b2a<-
b2-4ac
2a
;
则不等式ax2+bx+c>0
解集为:
x x<-b- b
2-4ac
2a
或x>-b+ b
2-4ac
2a ;
不等式ax2+bx+c<0
解集为:
x -b- b
2-4ac
2a
<x<-b+ b
2-4ac
2a ;
②当Δ=b2-4ac=0时,x+b2a
2
>0,则不等式
ax2+bx+c>0解集为:x|x≠-b2a ;
不等式ax2+bx+c<0解集为: .
③当Δ=b2-4ac<0时,不等式ax2+bx+c>0
解集为 ;不等式ax2+bx+c<0解集为:
.
(2)图象法:由函数的图象与相应一元二次方程
的根的关系,先求出一元二次方程的根,再根据
函数图象与x轴的位置关系确定不等式的解集.
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第二章 方程与不等式
具体过程如下:将一元二次不等式整理成ax2+
bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,设其
相应方程的两个根为x1,x2 且x1<x2,Δ=b2-
4ac,则不等式的解的各种情况如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+
bx+c
(a>0)
的图象
y=ax2+bx+c y=ax
2+bx+c y=ax2+bx+c
一元二次
方程ax2
+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2
=- b2a
无实根
不等式ax2+bx+
c>0(a>0)
的解集
x
x<x1
或x>x2 x x≠- b2a R
不等式ax2+bx+
c<0(a>0)
的解集
x x1<x<x2 ⌀ ⌀
学生用书P28
知识点1 用适当的方法解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式:(1)x2≤2x+3;(2)x2-4x
+4>0;(3)x2+2x+3<0.
【解】 (1)①用配方法:原不等式等价于x2-2x
-3≤0,
即(x-1)2≤4,从而-2≤x-1≤2
∴-1≤x≤3.
所以原不等式的解集是 x|-1≤x≤3 .
②因式分解法:
∵x2-2x-3≤0,即(x+1)(x-3)≤0
∴不等式x2-2x-3≤0等价于
x+1≥0
x-3≤0 ……
(1)或
x+1≤0
x-3≥0 ……(2)
(1)的解集为 x|-1≤x≤3 ,
(2)的解集为⌀;
∴原不等式的解集为 -1,3
③图象法:
原不等式等价于x2-2x-3≤0,
∵a=1>0
∴函数y=x2-2x-3的图象开口向上
又∵函数y=x2-2x-3的图象与x 轴有两个交
点为(-1,0),(3,0)
∴x2≤2x+3的解集为 -1,3
(2)配方法:∵x2-4x+4=(x-2)2>0
∵∀x∈R,x≠2时,(x-2)2>0
∴不等式x2-4x+4>0的解集为(-∞,2)∪
(2,+∞)
(3)配方法:∵x2+2x+3=(x+1)2+2
∵∀x∈R,(x+1)2+2>0
∴x2+2x+3<0的解集为⌀
知识点拨:一元二次不等式的解法有多种,配方
法是通法,任何一个二次不等式都可以用,做题
时根据题目选择自己熟悉的方法.其中理解并应
用图象法可以比较迅速的解出不等式的解.
【举一反三】 学生用书P28
1.不等式(x+3)2<1的解集是 ( )
A.{x|x<-2}
B.{x|x<-4}
C.{x|-4<x<-2}
D.{x|x<-4或x>-2}
解析:-1<x+3<1,-4<x<-2
答案:C
2.不等式x2-5x-6<0的解集是 ( )
A.x|2<x<3
B.x|-1<x