内容正文:
§1.4 充要条件 学生用书P10
学生用书P10
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,区别
并会使用符号“⇒”“⇐”“⇔”等.
2.理解子集与推出的关系,能正确判定一个命题是
另一个命题的什么条件.
学生用书P10
1.推出
当“如果p,那么q”是真命题,则称p推出q,记作“p
⇒q”.
2.充分条件、必要条件
如果“p⇒q”是正确命题,则称p 是q 的充分条件,
或q是p 的必要条件.这三句话表达的是同一逻
辑关系.
3.充要条件
如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的充要条件,或q是
p 的充要条件,即p与q等价,记作p⇔q.
4.子集与推出的关系
对于集合A= x|p ,B= x|q .如果A⊆B,则
x具有性质p 推出x 具有性质q,记做p⇒q.反
之,如果 p⇒q,那么集合 A 一定是集合B 的
子集.
“p⇒q”通常还可表述为:p是q的充分条件.
如果A=B,那么p⇔q;如果p⇔q,那么A=B.即
A=B 与p⇔q等价.
这是通常判断一个命题是否是另一个命题的充
分条件、必要条件、充要条件的方法.
5.推出的五种等价说法
总结以上知识,下列五种说法是等价的:
(1)p⇒q
(2)如果p,那么q是真命题
(3)p是q的充分条件
(4)q是p 的必要条件
(5)以p为性质的集合A 是以q 为性质的集合B
的子集.
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职教高考·数学
学生用书P11
本节知识内容是高考的重点内容,能正确判断
一个命题是另一个命题哪种条件关系.
知识点1 符号“⇒”“⇐”或“⇔”的理解
【例1】 用符号“⇒”“⇐”或“⇔”填空:
(1)a>3 a>2
(2)x∈R x∈Z
(3)x=0且y=0 x2+y2=0
(4)三角形的三边相等 三角形的三个内
角相等
【解析】 (1)如果“a>3”那么“a>2”,所以是⇒
关系,(2)如果“x∈Z”,那么“x∈R”,所以是⇐关
系,(3)如果“x2+y2=0”,那么“x=0且y=0”,
反之亦然,所以是⇔关系,(4)是如果“三角形的
三边相等”,那么三角形是等边三角形,则“三角
形的三个内角相等”,反之亦然,所以是⇔关系.
【答案】 ⇒ ⇐ ⇔ ⇔
知识点拨:如果“p⇒q”,那么p 是q 成立的充分
条件或者q是p 的必要条件;如果“p⇔q”,那么p
是q的充要条件.
【举一反三】 学生用书P11
1.用符号⇒、⇐、⇔表示命题p与q 的关系,并指出
p是q的什么条件.
(1)p:0<x<2,q:|x-1|<1;
(2)p:(x-1)(x+1)=0,q:x=1;
(3)p:b2-4ac≥0(a≠0),q:ax2+bx+c=0
(a≠0)有实根;
(4)p:A∩B=B,q:B⊆A;
(5)p:抛物线y=ax2+bx+c过原点,q:c=0.
(6)p:|x+1|+|y+1|=0,q:x=-1,且y=-1.
解:(1)p⇔q,则p是q的充要条件;
(2)q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)p⇔q,则p是q的充要条件;
(4)p⇔q,则p是q的充要条件;
(5)p⇔q,则p是q的充要条件;
(6)p⇔q,则p是q的充要条件.
知识点2 充要关系的判断
【例2】 (1)(2017年高考题)对于命题p,q,“p∨q是真
命题”是“p是真命题”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 p∨q是真命题,则p 是真命题或者q是真
命题,反之,若p是真命题,则“p∨q”一定是真命题,
所以“p∨q是真命题”是“p是真命题”的必要不充分
条件.
【答案】 B
(2)条件甲:“a=1”,条件乙:“|a|=1”,则甲是乙的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 如果a=1,那么|a|=1,因此a=1⇒|a|=
1,但如果|a|=1,则a=1或a=-1,未必推出a=1,
所以甲是乙的充分不必要条件.也可以根据子集与
推出的关系判断:如果把条件甲:“a=1”表示集合
{1},条件乙:“|a|=1”表示集合{-1,1},那么{1}⫋
{-1,1},应用子集与推出的关系判断甲是乙的充分
不必要条件.
【答案】 A
(3)命题x=1是命题x3=1 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】 命题x3=1的解是x=1与命