2.2 第2课时 基本不等式的应用-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 第2课时　基本不等式的应用 知识点一　利用基本不等式比较大小 1．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________. 答案　≤ 解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者． 解　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b. ∴a＋b最大. 知识点二　利用基本不等式证明不等式 3．已知a，b，c∈R，求证： ＋＋≥(a＋b＋c)． 证明　∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴a2＋b2≥， ∴≥＝(a＋b)(a，b∈R，等号在a＝b≥0时成立)． 同理，≥(b＋c)(等号在b＝c≥0时成立)， ≥(a＋c)(等号在a＝c≥0时成立)． 三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c≥0时等号成立)． 4．已知x>0，y>0，z>0，求证：·≥8. 证明　因为x>0，y>0，z>0， 所以＋≥>0，当且仅当y＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝z时等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝y时等号成立， 所以≥＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立． 知识点三　利用基本不等式求参数的值或范围 5．[多选](2022·山东日照实验高级中学高一月考)设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值可以是(　　) A．－ B．－5 C．0 D．－4 答案　CD 解析　∵a>0，b>0，由＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，∴－≤－4，要使k≥－恒成立，则k≥－4.故选CD． 6．(2022·黑龙江大庆实验中学高一月考)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 答案　36 解析　4x＋≥2＝4.当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立．由题意得a＝4×32＝36. 知识点四　利用基本不等式解决实际应用问题 7.用17列货车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市．已知A，B两市间铁路线长400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于2 km，则这批货物全部运到B市最快需要________h，此时货车的速度是________km/h. 答案　8 　100 解析　这批货物全部运到B市需要的时间为＝＋≥2 ＝8，所以最快需要8 h，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立．所以此时货车的速度是100 km/h. [规律方法]　利用基本不等式解决实际应用问题需要过两关：一关是如何由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关是如何用基本不等式的知识求解问题． 8．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 解　(1)由题意可得AD＝4－x，且x>4－x>0，可得2<x<4， 由CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中， 可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－(2<x<4)． (2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，当且仅当x＝2，4－x＝4－2时等号成立，即队徽的长和宽分别为2，4－2时，△ADE的面积取得最大值． 一、选择题 1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案　B 解析　由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，所以1＋x≤1＋，故x≤，当且仅当a＝b时取等号． 2．(2022·山西大学附中高一月考)若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．λ＜ B．λ＜1 C．λ＜2 D．λ＜3 答案　C 解析　∵不等式a2＋b2＋2>λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴λ<.∵≥＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ<2.故选C． 3．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n