专题1.1 菱形的性质与判定-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题1.1 菱形的性质与判定 【学习目标】 1、理解菱形的概念，掌握菱形的性质及探究菱形面积的多种求法； 2、经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理； 3、能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题； 4、综合利用菱形的性质与判定解决问题； 5、经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法。 【知识梳理】 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。 菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形： 1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD 2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分， 即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD， 菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等 2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分 4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角 【高频考点精讲】 【高频考点1】菱形的性质（求长度、角度） 例1.（2022·陕西·九年级期末）如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD═AC×BD＝54，∴AC＝9， ∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 例2.（2022•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为　 　°． 【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD， 在△AOM和△CON中，， ∴△AOM≌△CON（AAS），∴AO＝CO， 又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝28°＝∠DAC，故答案为：28． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 变式1（2022·黑龙江·九年级期末）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________． 【答案】12 【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题． 【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10， ∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，∴AC∥EG∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG， ∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC， 在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC6， ∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 变式2.（2022•汉阳区期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是　 　． 【分析】根据菱形的性质得出DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CABDAB＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，求出∠ADC＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的判定得出△DCN≌△BCN，根据全等三角形的性质得出∠C