专题02 矩形-2022-2023学年九年级数学上册同步知识点学习目标+对点训练(北师大版)

特殊的平行四边形——矩形学习目标 1. 矩形的定义 2. 矩形的性质 3. 重要定理 4. 矩形的判定 目标1： 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 目标2：矩形的性质 (1)矩形具有平行四边形的一切性质； (2)矩形的四个角都是直角； (3)矩形的对角线相等； (4)矩形是轴对称图形，又是中心对称图形. 1. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是　　 A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等 【分析】矩形相对于平行四边形的对角线特性：矩形的对角线相等． 【解答】解：应利用矩形对角线特性：对角线相等，来进行判断．故选． 2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为，对角线长为10，则这个矩形的面积为　　 A．25 B．50 C． D． 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理得，， 矩形的面积． 故选：． 3. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为　　 A．4 B．8 C．10 D．12 【分析】由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【解答】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为， 故选：． 4. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题 【解答】解：矩形中，对角线，相交于点， ， ， ， ， 故选：． 5. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为　　 A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】由矩形的性质可证明，即可求解． 【解答】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点．若，，则的值为　　 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【分析】首先连接．由矩形的两边，，可求得，然后由求得答案． 【解答】解：连接， 矩形的两边，， ，，，，， ，， ， ． 故选：． 目标3：重要定理 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 7. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为　　 A． B．8 C． D．6 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据矩形的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式求出，即，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理列式计算即可求出． 【解答】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ． 故选：． 8. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为 　24　． 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可． 【解答】解：如图：，． 四边形是矩形，，是对角线． ． 在中，，． ，． 故答案为：24． 9. 在矩形中，对角线、交于点，若，则　　． 【分析】根据矩形的性质得出，，，求出，推出，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解： 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 目标4：矩形的判定 用定义判定矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 10. 如图所示的，再添加下列某一个条件，不能判定是矩形的是　　 A． B． C． D． 【分析】矩形的判定定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）有三个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断． 【解答】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当时，能判定是矩形． 由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当时，能判定是矩形． 由平行四边形四边形对边平行，可得，即可得，所以当时，不能判定是矩形． 由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当时，能判定是矩形． 故选：． 11. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是