专题2.3 函数的单调性与最值-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.3 函数的单调性与最值-重难点题型精讲 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)函数的最大（小）值： (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 【题型1 求函数的单调区间】 确定函数单调性的四种方法： (1)定义法：利用函数单调性的定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 【例1】（2021秋•东海县期中）函数f（x）的单调减区间是（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞） 【解题思路】根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得f（x）的递减区间，综合即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}其导数f′（x）， 分析可得：当x＞0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，+∞）上为减函数， 当x＜0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数； 综合可得：函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）； 故选：D． 【变式1-1】（2022春•喀什市校级期末）函数y的单调减区间是（　　） A．（0，1） B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，+∞） 【解题思路】求出函数y的定义域，利用导函数研究其单调性即可． 【解答过程】解：函数y，其定义域为（0，+∞）． 那么：y′＝x， 令y′＝0，解得：x＝1． 当x∈（0，1）时，y′＜0，那么函数y在x∈（0，1）上是单调性减函数． 故选：A． 【变式1-2】（2021春•资阳期末）函数f（x）x的递增区间为（　　） A． B．（0，1） C． D．（1，+∞） 【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求解函数f（x）的单调递增区间． 【解答过程】解：f（x）x的定义域为[0，+∞）， f′（x）1， 令f′（x）＞0，可得0＜x， 所以函数f（x）x的递增区间为（0，）． 故选：A． 【变式1-3】（2021秋•三明期中）函数f（x）＝|x﹣2|•（x﹣4）的单调递减区间是（　　） A．[2，4] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞） 【解题思路】将函数化成分段函数的形式，作出图象即可求解． 【解答过程】解：函数f（x）＝|x﹣2|（x﹣4）， 作出函数的图象，如图所示： 由图象可得函数的单调递减区间是[2，3]， 故选：B． 【题型2 判断或证明函数的单调性】 【方法点拨】 1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性. 2.导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． 3.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性. 注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性； ②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试. 【例2】（2022春•昌平区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　） A． B． C．y＝2x D．y＝log2x 【解题思路】直接根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性即可得出答案． 【解答过程】解：函数y＝x在区间（0，+∞）上递增； 函数y在区间（0，+∞）上单调递减；