第1章 直线与方程 章末小结-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第1章 直线与方程 章末小结 第1章《直线与方程》章末小结 1 知识框架 1 一、典型题型 1 题型1 直线的倾斜角与斜率 3 题型2 求直线的方程 6 题型3 两直线的平行、垂直及距离问题 8 题型4 对称问题 11 二、活学活用培优训练 26 二．典型题型 题型1 直线的倾斜角与斜率 解题技巧：求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 例1 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围. 【详解】 如下图示， 当直线过A时，， 当直线过B时，， 由图知：或. 故选：B 例2 （多选题）下列说法中，表述正确的是(       ) A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】 A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断． 【详解】 ①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确； ②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误； ③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)， 则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率， 由图可知，，故C正确； ④若直线、的倾斜角分别为、，则，，， ∴，则； 当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒ 故选：AC﹒ 例3 已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）. (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ. (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设Q（x，y），根据PQ⊥MN得出，然后由PN∥MQ得出，解方程组即可求出Q的坐标； （2）设Q（x，0）由∠NQP＝∠NPQ得出kNQ＝﹣kNP，解方程求出Q的坐标，然后即可得出结果. (1) 设Q（x，y）， 由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即 （x≠3）① 由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即（x≠1）② 联立①②求解得x＝0，y＝1，∴Q（0，1）； (2) 设Q（x，0）， ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP， 又∵kNQ，kNP＝﹣2，∴2   解得x＝1， ∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 题型2 求直线的方程 解题技巧：求直线方程的方法：求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况． 例1 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（       ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】 由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 例2 （多选题）下列说法不正确的是（       ） A．不能表示过点且斜率为k的直线方程 B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线与y轴的交点到原点的距离为b D．设，若直线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用给定式子有意义可判断A；利用直线方程的截距式能表示直线的前提判断B； 利用直线截距的意义判断C；直线l过定点，借助数形结合可得a的范围判断D作答. 【详解】 因过点且斜率为k的直线方程为，由知，，即不过点，A正确； 当x轴、y轴上的截距a，b都为0时的直线方程不能用表示，B不正确； 直线中