第1章 直线与方程 金牌测试卷【培优题】-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第1章 直线与方程 金牌测试卷【培优题】 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设出点C的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答. 【详解】 设顶点的坐标为，则的重心坐标为， 依题意，，整理得：， 对于A，当时，，不满足题意，排除A； 对于D，当时，，不满足题意，排除D； 对于B，当时，， 对于C，当时，， 直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即， 由解得：，于是得的外心， 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为， 显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B； 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即， 由解得，即点为的外心，并且在直线上， 边AB上的高所在直线：，即， 边BC上的高所在直线：，即， 由解得：，则的垂心，此时有， 即的垂心在直线上，选项C满足题意. 故选：C 【点睛】 结论点睛：的三顶点，则的重心为. 2．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可. 【详解】 ∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为， ∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围. ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 【点睛】 关键点睛：本题考查入射光线与反射光线之间的关系，关键在于入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围. 3．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】 因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 4．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（       ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 ①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【详解】 ① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图， 由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； ③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确； 故选：D 【点睛】 本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 5．已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得直线与x轴的交点为，根据面积相等可得点M在射线OA上即．求出直线和BC的交点N的坐标，就的不同位置分类讨