专题 用导数的方法证明不等式、讨论函数的零点-（微讲课件）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 专题 用导数的方法证明不等式、讨论函数的零点 合作探究案 攻重难 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 合作探究案 攻重难 细研深究 萃取知识精华 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 匠心微点 只为改变 第1页 返回导航 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 类型一 构造函数证明不等式 【例1】　已知函数f (x)＝x2ex－1－eq \f (1,3)x3－x2。 (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)设g(x)＝eq \f (2,3)x3－x2，求证：对任意实数x，都有f (x)≥g(x)。 解　(1)f ′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)(x∈R)， 由f ′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1。 当－2<x<0或x>1时，f ′(x)>0； 当x<－2或0<x<1时，f ′(x)<0， 所以函数f (x)在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减。 (2)证明：f (x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)。 设h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1， 由h′(x)＝0得x＝1， 则当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增。 因此，当x＝1时，h(x)取最小值h(1)＝0。 即对任意实数x都有h(x)≥0，又x2≥0，所以f (x)－g(x)≥0， 故对任意实数x，恒有f (x)≥g(x)。 利用导数解决不等式问题的策略 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用导数研究函数的单调性。而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关，因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后讨论这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点处的函数值求解问题。 要证不等式f (x)>g(x)，则构造函数φ(x)＝f (x)－g(x)，只需证φ(x)>0