专题1.5 新定义问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题1.5 新定义问题 【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果，f（4，）＝　 　，f（5，3）＝　 　； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　 　．（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） （4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）． 【思路点拨】 （1）根据题意计算即可； （2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断； ③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正； （3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】 解：（1）f（4，）4， f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3； 故答案为：4； ． （2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6， ∴f（6，3）≠f（3，6），故错误； ②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确； ③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误； ④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误； 故答案为：②． （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）． （4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，） 9×（）×16 ． 1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（　　） A．﹣3 B．1 C． D． 【思路点拨】 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解题过程】 解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）21． 故选：D． 2．（2021秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 【思路点拨】 原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值． 【解题过程】 解：根据题中的新定义得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3﹣2）＝﹣（6﹣2）＝﹣4， 则原式＝6﹣（﹣4）＝10． 故选：D． 3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则*[3*（﹣1）]的值为（　　） A．﹣1 B．﹣9 C． D．0 【思路点拨】 根据a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值． 【解题过程】 解：∵a*b＝b3﹣1， ∴*[3*（﹣1）] *[（﹣1）3﹣1] *[（﹣1）﹣1] *（﹣2） ＝（﹣2）3﹣1 ＝（﹣8）﹣1 ＝﹣9， 故选：B． 4．（2021秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（　　）个．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log2128＝log216+log28； A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可． 【解题过程】 解：∵61＝6， ∴log66＝1，故①不符合题意； ∵34＝81， ∴log381＝4，故②符合题意； ∵44＝256， ∴a+14＝256， ∴a＝242，故③不符合题意； ∵27＝128， ∴log2128＝7， ∵24＝16， ∴log216＝4， ∵23＝8， ∴log28＝3， ∵7＝4+3， ∴log2128＝log2