2.1.2 基本不等式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

2．1．2　基本不等式 [课标解读]　1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 知识点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． [点拨]　不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．(　　) (2)当a>0，b>0时，a＋b≥2．(　　) (3)当a>0，b>0时，ab≤．(　　) (4)当n∈N＋时，n＋>2．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab>0 BC　[根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2 ＝2 B．若x>0，则x＋>2 C．若x<0，则x＋≥－2 ＝－4 D．若x∈R，则2x2＋≥2 ＝2 D　[A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C选项中，若x<0，则－x>0，－>0，则－x－≥2 ＝4，则x＋≤－4；D选项正确．故选D．] 4．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥； ③≥；④＋≥2． 其中恒成立的不等式是 ．(填序号) 解析：　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；由＝＝≥＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：　①② 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．若x≠0，则x＋≥4 B．若a，b∈R，且ab>0，则＋≥2 C．＋的最小值为2 D．y＝2－3x－≥2－4(x>0) B　[A选项，只有当x>0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab>0，所以>0，>0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需()2＝1，得x2＝－1，无实数解，C错误；D选项，x>0时，y＝2－≤2－4，D错误．] 运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．　　 即时练1．在a>0，b>0的条件下，给出三个结论：①≤；②≤ ；③＋≥a＋b．其中结论正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[依题意，∵a>0，b>0，∴ ≥≥≥，∴①②中的结论正确．∵＋＝＝＝(a＋b)·≥(a＋b)(2－1)＝a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，∴③中的结论正确．故选D．] 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2 ＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． (2)∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． (3)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． 应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a≥0，b≥0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立，以上三点缺一不可．　　 即时练2．已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 C　[∵x>0，y>0，x＋y＝18， ∴x＋y≥2， ∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立， ∴xy有最大值81．] 探究点三　用基本不等式证明不等式 已知x，y，z是互不相等