1.2.3 第2课时 含量词命题的否定（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

第2课时　含量词命题的否定 [课标解读]　1．能正确使用存在量词对全称命题进行否定．2．能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 知识点　含量词命题的否定 p ¬p 结论 全称命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称命题的否定是特称命题 特称命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 特称命题的否定是全称命题 [点拨]　(1)写出一个全称命题或特称命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． (2)全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“p：∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，¬p(x)”，它们可以同真同假．(　　) (2)若命题¬p是特称命题，则命题p是全称命题．(　　 ) (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(　　 ) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D　[全称命题的否定是特称命题，并对结论进行否定．] 3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 C　[命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．] 4．命题“对于任意的x∈N，x3＋x2>0”的否定是 ． 答案：　∃x∈N，x3＋x2≤0 探究点一　全称命题的否定与真假判断 写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：∀x∈R，1－≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身． 解析：　(1)该命题的否定：∃x∈R，1－＞1．因为∀x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3．因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题． (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．所以这是一个假命题． 1．对全称命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法 全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．　　 即时练1．写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假． (1)所有矩形的对角线相等； (2)不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)等圆的面积相等，周长相等． 解析：　(1)该命题的否定：有的矩形对角线不相等．假命题． (2)该命题的否定：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，方程没有实数根，故为真命题． (3)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．假命题． 探究点二　特称命题的否定与真假判断 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3． 解析：　(1)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．它为假命题． (2)命题的否定：所有的平行四边形都不是菱形．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 1．对特称命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断 特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．　　 即时练2．判断下列特称命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈x是无理数}，x2是无理数； (3)在圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小． 解析：　(1)假命题．该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分． (2)真命题．该命题的否定为：∀x∈x是无理数}，x2是有理数． (3)假命题．该命题的否定为：在圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等． (4)真