1.2.3 第1课时 含有量词的命题（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．2．3　全称量词和存在量词 [课标解读]　通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 第1课时　含有量词的命题 知识点　全称命题和特称命题 — 全称命题 特称命题 量词 所有、任意、每一个等 存在某个、至少有一个等 符号 ∀ ∃ 命题 形式 “对M的任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” [点拨]　(1)一个全称命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”；一个特称命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． (2)全称命题含有全称量词，有些全称命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来；含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称命题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“一切”“每一个”“任给”是全称量词．(　　) (2)“有些”“有一个”“有的”是存在量词．(　　) (3)全称命题“自然数都是正整数”是真命题．(　　) (4)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题．(　　) (5)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．下列命题是特称命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．所有的质数都是奇数 C．偶数不是质数 D．有的偶数是质数 D　[选项D中“有的”是存在量词，所以选项D中的命题是特称命题．] 3．下列命题中全称命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 C　[①的含义是“任意平行四边形的对角线都互相平分”，是全称命题；②的含义是“任意梯形都有两条边平行”，是全称命题；③含有量词“存在”是特称命题．故选C．] 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称命题为 ． 解析：　命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为：对任意的x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 探究点一　全称命题与特称命题的判断 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解析：　(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0． (2)是特称命题，表示为∃x∈R，x2≥2． (3)是特称命题，表示为∃x∈{平行四边形}，但x的对角线不互相垂直． (4)是特称命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 全称命题或特称命题的判断 [提醒]　全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．　　 即时练1．判断下列命题是全称命题还是特称命题． (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3＞0成立． 解析：　(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称命题． (2)命题中含有存在量词，为特称命题． (3)命题中含有存在量词，为特称命题． 探究点二　全称命题和特称命题的真假判断 指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假． (1)对任意实数x，都有x2＋3＞0； (2)存在一个自然数小于1； (3)菱形的对角线相等． 解析：　(1)全称命题．由x2≥0，知x2＋3＞0恒成立，所以命题(1)是真命题． (2)特称命题．因为0∈N，且0＜1，所以命题(2)是真命题． (3)全称命题．有一个角为60°的菱形的对角线不相等，所以命题(3)是假命题． 判断全称命题、特称命题真假的思路 　　 即时练2．判断下列命题的真假，并指出是全称命题，还是特称命题． (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立； (4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2． 解析：　(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示；是全称命题． (2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形；是特称命题． (3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根；是特称命题