2.4-直线的交点坐标与距离公式 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.4 直线的交点坐标与距离公式 知 识 题 型 类 型 两条直线的交点 求直线的交点 重点、考点 三个距离公式 三个距离公式及其应用 重点、考点 对称 对称的应用 重点、考点 一．两条直线的交点 对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下： 方程组解的个数 位置关系 一个解 相交 无解 平行 无数解 重合 二．三个距离公式 条件 距离公式 两点之间的距离公式 已知两点， 点到直线的距离公式 已知一点，以及直线 两平行线的距离公式 已知直线， 以及 三．对称 条件 方法 两点关于另外一点对称 ，两点关于对称 两点关于一直线对称 ，两点关于直线对称（斜率存在） 1.两点的中点在直线上； 2.两点所在直线与直线垂直 两直线关于另一直线对称（三直线不平行） 1.三条直线交于同一点； 2.到角公式 四．两点关于一直线特殊的对称 点的坐标 直线方程 对称点坐标 五．到角公式 设的斜率分别是，到的角为，则. 考点一 直线的交点坐标 两条直线与的交点坐标为（ ）例1 A． B． C． D． 【分析】直接利用二元一次方程组的解法的应用求出结果． 【解答】解：两直线的交点坐标满足， 解得． 故交点坐标为． 故选：． 直线和的交点坐标为（ ）变1 A． B． C． D． 【分析】直接联立两直线方程组成的方程组求解两直线的交点坐标． 【解答】解：由题意得： ， 解得：， 故选：． 直线经过原点，且经过直线和的交点，则直线的方程为（ ）例2 A． B． C． D． 【分析】联立已知直线求出交点坐标，再根据直线过原点，即可求出直线的方程． 【解答】解：联立方程，解得， 直线过点， 又直线经过原点， 直线的方程为，即， 故选：． 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ）例3 A． B． C． D． 【分析】先求出已知直线的交点，然后结合直线垂直关系求出直线斜率，进而可求直线方程． 【解答】解：联立，得，， 故所求直线方程为，即． 故选：． 已知直线经过两条直线和的交点．且垂直于直线，则直线的方程为（ ）变2 A． B． C． D． 【分析】求出两条直线的交点，两条直线垂直时，斜率乘积为，可以直接解出． 【解答】解：解方程组：，解得交点坐标为， 直线垂直于直线，可设直线的方程为： ，则直线过点， ， ， 直线的方程为：， 故选：． 若直线与直线交点在第一象限，则实数的取值范围为（ ）例4 A． B． C． D． 【分析】易知直线恒过点，再求得直线与两坐标轴的交点和，使所求直线的斜率满足或，即可． 【解答】解：直线可整理为，恒过点， 直线经过点和点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 要使已知两条直线的交点坐标在第一象限，则或，即或． 故选：． 直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）变3 A． B． C． D． 【分析】联立两个直线方程，解出交点坐标，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可解出． 【解答】解：由题意可得，解得，， 且， ， 故选：． （多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）例5 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据三条直线只有两个交点，所以这三条直线必有两条直线平行， 由此讨论直线平行情况，从而求出实数的值． 【解答】解：由直线，与共有两个交点， 所以这三条直线必有两条直线平行， 又直线，不平行， 所以当直线与平行时，； 当直线与平行时，； 综上知，实数的值为1或． 故选：． 若三直线，和相交于一点，则　　．变4 【分析】利用直线的交点与相应的方程组成的方程组的解的关系即可得出． 【解答】解：联立解得，代入直线方程得，解得． 故答案为． 考点二 三个距离公式的应用 类型一 两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，已知点，，则（ ）例1 A．1 B． C． D．2 【分析】根据题意，有两点间距离公式可得，结合余弦和角公式变形可得答案． 【解答】解：， ， 故选：． 已知，，则等于（ ）变1 A．4 B． C．6 D． 【分析】利用两点间距离公式求解即可． 【解答】解：因为，， 所以． 故选：． 已知点，且，则等于（ ）变2 A．1 B． C．1或 D．其他值 【分析】由已知条件直接利用两点间距离公式直接求解． 【解答】解：点，且， ， 即， 解得或． 故选：． 已知平面直角坐标系中两个点坐标M（2，5），N（4，9），点P是M，N中点，则（ ）例