专题07 充要条件-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题07 充要条件 1．充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p⇔q，则p是q的充要条件． (3)若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件． (4)若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (5)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 3．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且BA，即A⫋B，则p是q的充分不必要条件． (5)若B⊆A且AB，即B⫋A，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 4．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 题型一 充要条件的概念及判断　 1．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) [解析]充要 2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，故选B. 3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]因为x<－1⇒|x|>1，而|x|>1⇒x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．[答案]　A 4．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0， 即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．[答案]　B 5．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1， 所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>， 所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．[答案]　A 6．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．[答案]　B 7．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3， ∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 8．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时， x＝5不一定成立，故选B. 9．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]选B，当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数． 10．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立． ∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A. 11．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以