专题13 计数原理-【高考解密】2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编（全国通用版）

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编 专题13 计数原理 一、选择题 1．(2022高考北京卷·第8题)若，则 (　　) A．40 B．41 C． D． 【答案】B 解析:令，则， 令，则， 故， 故选,B． 【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用 【题目来源】2022高考北京卷·第8题 2．(2022新高考全国II卷·第5题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有 (　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 【题目栏目】 【题目来源】2022新高考全国II卷·第5题 3．(2021年高考全国乙卷理科·第6题)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 (　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C． 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解． 【题目栏目】计数原理\排列与组合问题的综合应用 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第6题 4．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第8题)的展开式中x3y3的系数为 (　　) A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为(且) 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题． 【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理 【题目来源】2020年高考课标Ⅰ卷理科·第8题 5．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同安排方法共有 (　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】C 解析：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有种．故选：C 【题目栏目】 【题目来源】2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第3题 6．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第6题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有 (　　) A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【答案】C 解析：第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种，故选：C 【题目栏目】 【题目来源】2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第6题 7．(2020北京高考·第3题)在的展开式中，的系数为 (　　)． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：．故选：C． 【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用 【题目来源】2020北京高考·第3题 8．(2019年高考全国Ⅲ理·第4题)的展开式中的系数为 (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】【答案】A 【解析】因为，所以的系数为，故选A． 【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。 【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用 【题目来源】2019年高考全国Ⅲ理·第4题 9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第5题)的展开式中的系数为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C． 【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第5题 二、多选题 10．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第1