3.4 函数的应用（一）（教案）-2022-2023学年高一数学教材配套教案（人教A版2019必修第一册）

3.4 函数应用（一） · 考纲要求 1．能够应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题． 2．能够运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． · 知识解读 知识点①常见的数学模型 1．一次函数模型：(k，b为常数，k≠0)； 2．反比例函数模型：(k，b为常数，k≠0)； 3．二次函数模型：(a，b，c为常数，a≠0)； 4．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 知识点②解答函数实际应用问题时的一般步骤 第一步：分析、联想、转化、抽象； 第二步：建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题； 第三步：解答数学问题，求得结果； 第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答． 而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把函数模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解． · 题型讲解 题型一 、一次函数与二次函数模型的应用 · 解题技巧：（一、二次函数模型应用） 1．一次函数模型的应用 利用一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2．二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围. 例1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元　　　　　　　 B．840元 C．860元 D．880元 例2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A．10.5万元 D．11万元 C．43万元 D．43.025万元 例3．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．价格每提高1元，平均每天少销售3箱. ①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ③当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少? 题型二、分段函数模型的应用 · 解题技巧：（分段函数注意事项） 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 例1．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为(　　) A．13立方米 D．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 例2．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大? · 达标训练 1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A． cm2 D．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　) A．15 D．40 C．25 D．130 3．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)． 4．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多