1.4 空间向量的应用 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬1.4 空间向量的应用 知 识 题 型 类 型 法向量 求平面的法向量 重点、考点 空间向量 利用空间向量证明平行与垂直 重点、考点、难点 利用空间向量求角 重点、考点、难点 一．平面的法向量 求平面的法向量的基本步骤： 要点 第一步 设出平面的法向量 第二步 找出该平面互不平行的两个已知向量 第三步 由建立方程组 第四步 解方程组 二．空间向量在证明题中的应用 条件 向量表示 线线平行与垂直 直线的方向向量分别为 线面平行与垂直 直线的方向向量分别为，平面的法向量为 面面平行与垂直 平面的法向量分别为 三．空间向量在空间中求角的应用 公式 线线夹角 线面夹角 二面角 四．距离问题 点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为． 考点一 求平面的法向量 如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．例1 （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) 【解析】 【分析】 （1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量； （2）利用求解平面的法向量的方法进行求解. (1) 因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． (2) 因为正方体的棱长为3，， 所以M，B，的坐标分别为，，， 因此，， 设是平面的法向量，则 ，， 所以， 取，则，．于是是平面的一个法向量． 四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．例2 【答案】答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）. 【解析】 【分析】 设平面的法向量，由，取可求得平面的一个法向量；根据平面轴，可得即为所求平面的一个法向量. 【详解】 ，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 即平面的一个法向量为； 平面轴，即为平面的一个法向量. 如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：变1 （1）平面ABCD；（2）平面；（3）平面． 【答案】(1) (2) (3) 【解析