1.2 空间向量基本定理 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 1 页 共 14 页 ✬1.2 空间向量基本定理 知 识 题 型 类 型 空间向量的基本定理 空间向量基底的判断 重点 利用基底表示空间向量 重点 空间向量在几何中的应用 重点、考点 一．空间向量基本定理 1.如果三个向量 a，b， c不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 czbyaxp  .我们把  cba ，， 叫做空间的一个基底， a， b， c都叫做基向量． 2.若 0 czbyax ，则 0 zyx ． 二．空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用  kji ，， 表示． 2.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 ix ， jy ， kz 使得 kzjyixa  . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三．空间向量的应用 1.求异面直线的夹角： ba baba    ，cos ． 2.证明平行： baba // ； 3.证明垂直： 0 baba . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 2 页 共 14 页 考点一 空间向量基底的判断 例 1 在空间四点 O，A，B，C中，若 , ,OA OB OC   是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 变 1 已知 O，A，B，C为空间四点，且向量OA  ，OB  ，OC  不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A．OA  ，OB  ，OC  共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．OA OB   与OC  共线 D．O，A，B，C四点共面 例 2 若 , ,a b c   构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ） A． , ,a b b c c a        B． , ,a b b c c a       C． , ,a b c a b c        D． , ,3a b c a b c a b c              例 3 设 1e  ， 2e  ， 3e  是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（ ） A． 1 2 1 3 2 3 1, , 2 2 e e e e e e             B． 1 3 2 3 1 2, ,e e e e e e         C． 1 2 2 3 3 1, 2 , 3e e e e e e         D． 1 3 2 3 1 2, ,e e e e e e         变 2 已知 , ,a b c    是空间一个基底， p a b     ， q a b     ，一定可以与向量 p  ， q  构成空间另一个基底 的是（ ） A． a  B．b  C． c  D． 1 2 3 p q   变 3 已知{ , , }a b c    是空间的一个基底，若 2 , 2 , ,p a b q b a r a b s a b c                      ，则下列可以为空间 一个基底的是（ ） A． , ,a p q    B． , ,b p q    C． , ,r p q    D． , ,s p q    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 3 页 共 14 页 变 4 已知 1 2 3, ,e e e    是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（ ） ① 1 2 2 32e e e e     ， ， ；② 2 2 1 2 12 2e e e e e       ， ， ； ③ 1 2 2 3 1 32 5e e e e e e          ， ， ；④ 3 1 3 1