1.1 空间向量及其运算 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 1 页 共 16 页 第一章 空间向量与立体几何 ✬1.1 空间向量及其运算 知 识 题 型 类 型 空间向量的概念 概念辨析 重点 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 重点 空间向量的共面定理 共面定理的应用 重点、考点 空间向量的数量积 空间向量的数量积 重点、考点 一．空间向量的概念 1.定义：空间中既有大小又有方向的量叫做空间向量． 2.模（或长度）：向量的大小． 3.表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母 a，b， c，…表示；若向量 a的起点是 A，终点是 B，也可记作AB→，其模记为| a | 或|AB→|. 4.几类特殊的空间向量 定义 零向量 长度为 0的向量叫做零向量，记为 0 单位向量 模为 1的向量称为单位向量 相反向量 与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量，记为 a 共线向量 若 )( RPBPA   ，则 )//( PBPAPBPA 即共线与 .规定：对于任意向量 a，都有 0 // a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 2 页 共 16 页 二．空间向量的线性运算 运算 图示 加法运算 a＋ b＝OA→＋AB→＝OB→ 减法运算 a－ b＝OA→－OC→＝CA→ 三．向量的共线定理 1.若 )( RPBPA   ，则 )//( PBPAPBPA 即共线与 ，同时 BAP 、、 三点共线. 2.三点共线的证明方法：①若 PBPA  ，则 BAP 、、 三点共线；②若 OByOAxOP  ， 1 yx ，则 BAP 、、 三点共线. 四．向量的共面定理 1.如果两个向量 a，b不共线，那么向量 c与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 byaxc  . 2.证明 CBAP 、、、 四点共面的方法：①若 PCyPBxPA  ，则 CBAP 、、、 三点共线；②若 ABPC  ， 则 CBAP 、、、 三点共线；③对于空间内任意一点 O ，若 OCzOByOAxOP  ， 1 zyx 则 CBAP 、、、 三点共线. 五．空间向量的数量积 1.数量积的定义：两个非零向量 ba， ，则  baba ，cos 叫做 ba， 的数量积.记作  bababa ，cos . 2.夹角公式：两个非零向量 ba， 的夹角为 ，则 ba ba   cos . 3.投影公式： a在 b上的投影为： b babaa  ，cos . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 3 页 共 16 页 考点一 概念辨析 例 1 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A．若向量 a， b平行，则 a，b所在直线平行 B．若 ba  ，则 a， b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量 AB，CD满足 CDAB  ，则 CDAB  D．相等向量其方向必相同 例 2 在下列结论中： ①若向量 ba， 共线，则向量 ba， 所在的直线平行； ②若向量 ba， 所在的直线为异面直线，则向量 ba， 一定不共面； ③若三个向量 cba ，， 两两共面，则向量 cba ，， 共面； ④已知空间的三个向量 cba ，， ，则对于空间的任意一个向量 p总存在实数 x，y，z使得 czbyaxp  . 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变 1 （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A．向量 AB与 BA的长度相等 B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 变 2 下列命题中正确的是（ ） A．若 / /a b  ， / /b c   ，则 a与c所在直线平行 B．向量 a、b  、 c共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若 / /a b  ，则存在唯一的实数λ，使 a b  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 4 页 共 16 页 考点二 空间向量的线性运算 例 1 已知长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M 是对角线 1AC 中点，化简下列表达式： （1） 1AA CB   ； （2） 1 1 1 1 1AB BC C D     ； （3） 1 1 1 1 2 2 2 AD AB A A     . 例 2 已知在空间四边形 ABCD中，G是 BCD△ 的重心，E F H，