第6讲-等腰三角形的轴对称性 、设计轴对称图案 知识归纳与复习训练　2022—2023学年 苏科版 数学八年级上册

第6讲 等腰三角形的轴对称性 典型例题 知识点1：等腰三角形的性质 等腰三角形性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 例1：如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2的关系为 ． 例2：等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 例3：如图1，定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠E． 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 例4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或直线AC上取一点P，使△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有 个点． 例5：如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答： （1）符合条件的点P共有 个； （2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数． 巩固练习 1、如图：F在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DF交BC于点E，DE=EF，BD=CF． 求证：△ABC是等腰三角形． 2、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答： （1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由： （2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ （3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 知识点3：等边三角形的性质 例64：如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为 ． 例7：如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度． 【巩固练习】 1、三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= °． 2、学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度． （1）请你完成这道思考题； （2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？… 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明． 知识点4：等边三角形的判定 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 例8：下列条件： ①有两个角等于60°的三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形； ④有一条边上的高和中线重合的三角形， 其中是等边三角形的有 （填序号）． 例9：已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-ba-ca=0，则△ABC是 三角形． 例10：如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． （1）求证：DE=DB； （2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 巩固练习 1、如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由