专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 【题型1 利用基本不等式判断不等关系】 【方法点拨】 将代数式灵活变形，利用基本不等式求解最值的方法，来求出所给代数式的最值或取值范围，以此来判断不等关系是否成立，注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件. 【例1】（2022春•赤峰期末）若a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则下列不等式中成立的是（　　） A．ab＜2 B． C．log2a+log2b＜1 D．9a+3b≥18 【解题思路】利用基本不等式可得ab得范围，判断选项A；利用和与平方和的关系判断选项B；利用对数运算化简结合选项A判断出选项C；利用基本不等式可得选项D正确． 【解答过程】解：对于A，a＞0，b＞0，2a+b＝4≥2，解得ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项A错误； 对于B，4a2+b2＝（2a）2+b2（2a+b）2＝8，即2，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项B错误； 对于C，由A可得ab≤2，log2a+log2b＝log2ab≤1，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项C错误； 对于D，9a+3b＝32a+3b≥218，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故选项D正确； 故选：D． 【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号， 又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误， 2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误， 故选：A． 【变式1-2】（2021•安徽模拟）设a＞0，b＞0，c＞0，下列不等关系不恒成立的是（　　） A．c2 B．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| C．若a+4b＝1，则8 D．ax2+bx﹣c≥0（x∈R） 【解题思路】首先对于此类选择题，考虑用排除法求解．对于选项A和选项C，都应用基本不等式化简求解即可．对于选项B根据式子的几何意义直接判断．对于选项D，选定特殊值，然后利用方程的判别法计算即可得出错误． 【解答过程】解：对于选项A：c2，可直接根据基本不等式求解．显然恒成立． 对于选项B：|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|，所表示的含义是在三角形内两边之和大于第3边，所以显然成立． 对于选项C：若a+4b＝1则根据基本不等式得：，即，对于式，所以得不等式恒成立． 对于选项D：ax2+bx﹣c≥0（x∈R）．当a＞0，Δ＝b2+4ac＞0，显然ax2+bx﹣c≥0不恒成立． 故选：D． 【变式1-3】（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可． 【解答过程】解：因为， 所以，故①错误； 当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误； 因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2， 所以，故③正确． 故选：C． 【题型2 利用基本不等式求最值】 【方法点拨】 (1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答 技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． (2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． 【例2】（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【解题思路】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果． 【解答过程】解：已知x，y都是正数，且x+y＝2， 则（x+y）（）（5）（5+2），当且仅当x，y时等号成立， 所以的最小值为：． 故选：B． 【变式2-1】（2022春•信州区期末）已知正数m，n满足m+n＝1，则的最小值为（