第4讲 相似三角形判定　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第4讲 相似三角形判定 知识归纳 思考：什么叫做全等三角形？两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？全等三角形的判断方法？ 概念辨析：如果一个三角形与另一个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例的两个三角形，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，与是相似三角形，可记作∽，其中点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，“∽“读作”相似于”；相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． 注意：①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 强调：在写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 思考：如果∽，∽，那么与相似吗？ 请同学们利用相似三角形的定义说理。 归纳总结：相似三角形具有传递性，如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 练一练： 1． 如图，△ABC∽△DEC，其中点A与点D是对应顶点，请写出对应角和对应边成比例的比例式． 2． 如图，△ADE∽△ABC，其中点D与点B是对应顶点，请写出对应角和对应边成比例的比例式． 案例1：通过学习三角形一边的平行线性质定理，如下图，分别在直线上，若，能否得到∽？ 相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 案例2：如图，在和中，， 求证：∽ 相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）. 练一练：如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝________。 案例3：如图，在和中，，,， 求证：∽ 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似） 练一练：在和中，,则当 时， ∽． 案例4：如图，在和中，，求证：∽ 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边对应成比例，两个三角形相似） 练一练： 如图，△ABC和△BED中，若，且△ABC和△BED周长之差为10cm，则△ABC周长为____cm。 相似三角形判定小结: 相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（平行即相似） 相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）. 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似） 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边对应成比例，两个三角形相似） 典型例题 例题1：如图，在正方形网格上有两个三角形和，求证:∽ 试一试：如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是( ) （A）△BDE （B）△BCD （C）△FGH （D）△BFG. 例题3：在中，，，、分别为、上一点，，当取何值时，与相似. 试一试: 在正方形中，已知，点在边上，且，如图,点在的延长线上，如果△与点、、所组成的三角形相似，那么 ． A B C D E 例题4：已知：如图，在△中，，∥，点在边上，与相交于点，且∠=∠． 求证：（1）△∽△；B C A D E F G （2）． 试一试：已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°． 求证：（1）△ABE∽△DCA； （2） 例题5：如图，在中，，点是的延长线上一点，是延长线上的一点，且满足； 求证：（1）∽ （2）若，求的度数. 试一试:已知：如图，在梯形中，∥，，点在边上，且， . （1）求证：； （2）作，垂足为点，并交于点. 求证：.