专题1.17 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】 专题1.17新定义与数字类规律探究问题（重难点培优） 一．解答题（共24小题） 1．（2021秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 　 　； （2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值． 2．（2022春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①（3，81）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； ②若（x，）＝﹣3，则x＝　 　． （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 3．（2022春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，9）＝　 　，（4，1）＝　 　，（2，）＝　 　． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）． 请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 4．（2022春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0． （1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值； （2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0． 5．（2022春•罗山县期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对，都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1），中，　 　是“共生有理数对”； （2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　（填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 6．（2021秋•成武县期中）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（）④＝　 　； （2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1 C：3④＝4③ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝　 　． （5）算一算：　 　． 7．（2018秋•长葛市期中）材料： 一般地，n个相同的因数a相乘：．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． 问题： （1）计算以下各对数的值：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为　 　log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式：　 　 （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN＝　 　（a＞o且a≠1，M＞0，N＞0）． 8．（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2