高考增分策略3 求函数最值的常用方法-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

高考增分策略3 求函数最值的常用方法 微专题 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 谢谢观看 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 求函数最值的常用方法 方法一　配方法 配方法是求二次型函数最值的基本方法，如y＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法． [例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值． [思路]　将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数． [解析]　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞). ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 综上，当a≤2且a≠0时， y的最小值为2(a－1)2； 当a>2时，y的最小值为a2－2. 方法二　换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． [例2]　(1)函数f(x)＝x＋2 eq \r(1－x) 的最大值为________ . (2)函数y＝x－ eq \r(4－x2) 的最大值为________，最小值为________ . [解析]　(1)设 eq \r(1－x) ＝t(t≥0)，∴x＝1－t2. ∴y＝x＋2 eq \r(1－x) ＝1－t2＋2t＝－(t－1)2＋2. ∴当t＝1即x＝0时，ymax＝2. (2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，∴设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y＝2cos θ－ eq \r(4－4cos2θ) ＝2cosθ－2sin θ＝2 eq \r(2) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))) ，∵θ＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) ， ∴cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))) ，∴y∈[－2 eq \r(2) ，2]. [答案]　(1)2　(2)2　－2 eq \r(2) 方法三　不等式法 主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法． [例3]　(1)若实数a，b满足 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \r(ab) ，则ab的最小值为(　　) A． eq \r(2) B．2 C．2 eq \r(2) D．4 (2)设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0.)) 若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] [解析]　(1)法一　由已知得 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \f(b＋2a,ab) ＝ eq \r(ab) ，且a>0，b>0，∴ab eq \r(ab) ＝b＋2a≥2 eq \r(2) · eq \r(ab) ，当且仅当b＝2a时取等号，∴ab≥2 eq \r(2) .故选C. 法二　由题设易知a>0，b>0，∴ eq \r(ab) ＝ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ≥2 eq \r(\f(2,ab)) ，当且仅当b＝2a时取等号，即ab≥2 eq \r(2) .故选C. (2)∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0. 当x>0时，f(x)