高考增分策略2 新定义”函数-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

高考增分策略2 “新定义”函数 微专题 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 谢谢观看 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题． [例1]　(2022·长安模拟)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，)) 其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．无法求 [解析]　若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1. 若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B. [答案]　B [点评]　本题是以狄利克雷函数为背景创设的函数题，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键：一是明确狄利克雷函数的实质是分段函数，理解集合∁RQ表示无理数集；二是分类讨论，需对m分“是有理数”“是无理数”两类讨论；三是注意从内向外逐层脱去“外衣”f，即可求出所求函数值． [例2]　黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)（p，q都是正整数，\f(q,p)是既约真分数），,0，x＝0，1或无理数．)) 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＋f(lg 30)＝________ . [解析]　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0， 所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)， 所以2是函数f(x)的周期， 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)－4)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) ＝－R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) ＝－ eq \f(1,5) ， f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＋f(lg 30)＝－ eq \f(1,5) . [答案]　－ eq \f(1,5) [点评]　本题以黎曼函数为背景，将函数的奇偶性和周期性、求函数值交汇，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键是判断函数f(x)的奇偶性与周期性，然后利用函数的奇偶性与周期性进行转化，把自变量的取值“转移”到区间[0，1]上，即可求出所求结果． $