高考增分策略1 突破双变量“存在性或任意性”问题-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

高考增分策略1 突破双变量“存在性或任意性”问题 微专题 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 谢谢观看 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 一、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立” [例1]　已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝eq \f(19,6)x－eq \f(1,3)，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． [解析]　由题意知，g(x)在[0,2]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，6)). 令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－eq \f(1,3).当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))时，h′(x)<0；当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－a2－2a－eq \f(1,3).又由题意可知，h(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，6))的子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(h－1≤6，,－a2－2a－\f(1,3)≥－\f(1,3)，,h1≤6，))解得实数a的取值范围是[－2,0]． [点评]　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围． 二、形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” [例2]　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2x3,x＋1)，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，,－\f(1,3)x＋\f(1,6)，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，)) 函数g(x)＝ksin eq \f(πx,6)－2k＋2(k＞0)，若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． [解析]　由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2k，2－\f(3k,2)))，并且两个值域有公共部分．先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－eq \f(3,2)k<0，解得k<eq \f(1,2)或k>eq \f(4,3)，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3))). [点评]　本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围． 三、形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)<g(x2)成立” [例3]　已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________ . [解析]　依题意知f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)＝x＋eq \f(4,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a