高考增分策略4 函数奇偶性的拓广及应用 -（课件）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

高考增分策略4 函数奇偶性的拓广及应用 微专题 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 谢谢观看 返回导航 高考增分策略 高考总复习 数学 函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用． [拓广1]　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c. [证明]　由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c. [应用]　对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 [解析]　设g(x)＝a sin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D. [答案]　D [点评]　由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用． [拓广2]　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. [应用]　设函数f(x)＝ eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1) 的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________ . [解析]　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝ eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1) ＝1＋ eq \f(2x＋sin x,x2＋1) ， 设g(x)＝ eq \f(2x＋sin x,x2＋1) ，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. [答案]　2 [拓广3]　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [证明]　当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x). 综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [应用]　设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－ eq \f(1,1＋x2) ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) ∪(1，＋∞) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) [解析]　易知函数f(x)的定义域为R， 且f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝ln (1＋x)－ eq \f(1,1＋x2) ， 易知此时f(x)单调递增． 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)， 所以|x|>|2x－1|，解得 eq \f(1,3) <x<1.故选A. [答案]　A [点评]　本例结合偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量． $