第3章 2 课时2 导数与函数的极值、最值-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

保分练 1．(2021·沈阳一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析　由f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0，可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选D. 答案　D 2．(2022·邯郸月考)若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 解析　f′(x)＝aex－cos x，若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意．故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝x－sin x在上的最小值和最大值分别是(　　) A．－，0 B．－1，0 C．－，－1 D．－， 解析　函数f(x)＝x－sin x，f′(x)＝－cos x， 令f′(x)>0，解得<x≤， 令f′(x)<0，解得0≤x<， 所以f(x)在上单调递减， 在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－，而f(0)＝0，f＝－1<0，故f(x)在区间上的最小值和最大值分别是－，0.故选A. 答案　A 4．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析　由f(x)在x＝－2处取得极小值可知， 当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0， 当－2<x<0时，f′(x)>0，则xf′(x)<0； 当x>0时，f′(x)>0，则xf′(x)>0. 故选C. 答案　C 5．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　) A．0<b<1 B．b<1 C．b>0 D．b< 解析　f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正， ∴f′(0)＝－3b<0，且f′(1)＝3－3b>0. ∴b>0且b<1. 综上，b的取值范围为0<b<1. 答案　A 6．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________ . 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2－＝， 当0<x<时，f′(x)<0； 当x>时，f′(x)>0. ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min＝f＝1－ln ＝1＋ln 2. 答案　1＋ln 2 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________ . 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意，得即解得或 当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，f(x)无极值，故舍去． 当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f(2)＝18. 答案　18 8．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________ . 解析　令f(x)＝2x3－ax2＋1＝0⇒a＝2x＋. 令g(x)＝2x＋(x>0)，g′(x)＝2－，令g(x)＝2－>0，解得x>1，令g′(x)＝2－<0，解得0<x<1. ∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∵函数g(x)在(0，＋∞)内有唯一零点，∴a＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x3－3x2＋1. 求导可知在[－1，1]上，f(x)min＝f(－1)＝－4， f(x)max＝f(0)＝1，∴f(x)min＋f(x)max＝－3. 答案　－3 9．设函数f(x)＝a ln x－bx2，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在上的最大值． 解析　(1)f′(x)＝－2bx，x>0， ∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， ∴ 解得 (2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，x>0， f′(x)＝－x＝， 当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1， 令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在上单调递增， 在(1，e]上单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝－. 10．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(