第3章 2 课时1 导数与函数的单调性-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

保分练 1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝2sinx cos x B．g(x)＝x3－x C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x 解析　h(x)＝xex，定义域为R， ∴h′(x)＝(x＋1)ex， 当x>0时，h′(x)>0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 答案　C 2．函数f(x)＝－2ln x－x－的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－3，1) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析　依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝＝－，故当0<x<1时，f′(x)>0，所以函数的单调递增区间为(0，1).故选C. 答案　C 3．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　) A．∪[2，3] B．∪ C.∪ D．∪∪ 解析　由图象知在和[2，3]上f(x)单调递减，因此f′(x)≤0的解集为∪[2，3].故选A. 答案　A 4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a 解析　f(x)的定义域为R， f′(x)＝cos x－sin x－2＝cos －2<0， ∴f(x)在R上单调递减， 又2e>1，0<ln 2<1，∴－π<ln 2<2e， 故f(－π)>f(ln 2)>f(2e)， 即a>c>b. 答案　A 5．若函数g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数具有M性质的为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x 解析　对于A，f(x)＝，则g(x)＝，g′(x)＝，当x<1且x≠0时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)， g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2>0在实数集R上恒成立， ∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数； 对于C，f(x)＝sin x，则g(x)＝ex sin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝ex sin ，显然g(x)不单调； 对于D，f(x)＝x，则g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex， 当x<－1时，g′(x)<0， 当x>－1时，g′(x)>0，∴g(x)在R上先减后增． ∴具有M性质的函数的选项为B. 答案　B 6．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________ . 解析　依题意f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a>－3且a≠0. 答案　(－3，0)∪(0，＋∞) 7．若函数f(x)＝x＋cos x－1，则不等式f(x－1)<0的解集为________ . 解析　f(x)的定义域为R， f′(x)＝1－sin x≥0， ∴f(x)在R上单调递增且f(0)＝0， ∴f(x－1)<0等价于f(x－1)<f(0)， ∴x－1<0，即x<1. 答案　(－∞，1) 8．已知函数f(x)＝x2(x－a)，若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________ . 解析　f(x)＝x3－ax2， ∴f′(x)＝3x2－2ax＝3x， ∵f(x)在(2，3)上不单调，∴2<a<3， ∴3<a<. 答案　 9．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ex，若f(x)在x＝0处的切线方程为6x＋y＋3＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解析　(1)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex， ∴由切线方程知f′(0)＝－6，f(0)＝－3， ∴解得 (2)f(x)＝(x2－3x－3)ex，定义域为R， f′(x)＝(x2－x－6)ex＝(x－3)(x＋2)ex， 令f′(x)>0⇒x>3或x<－2， 令f′(x)<0⇒－2<x<3， ∴f(x)在(－∞，－2)，(3，＋∞)上单调递增，在(－2，3)上单调递减． 10．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a<1时，令f′