微专题二 全等三角形的半角、手拉手及一线三等角模型-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

微专题二 全等三角形的半角、手拉手及一线三等角模型 模型一 半角模型 全等三角形中，半角模型是指在证明两个三角形全等时，在某个角中出现它的半角的情况，其常见类型如： 如图：DAE=，AB=AC，该模型通常将DB进行旋转，旋转角等于，如图： 得到DBFC；DEFD。 提醒：可以尝试证明一下 【典例1】问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 模型二 手拉手模型 如图：AD=AE，AB=AC,将DE绕着A点旋转一定的角度，形成FG，连接BF，CG，可得BFCG。 提醒：可以尝试证明一下 【典例2】如图，若和都是等边三角形，求的度数． 模型三 一线三等角模型 如图：点C在线段BD上，，且在BC和CDE中，有一组对应边相等，可得BCCDE。 提醒：可以尝试证明一下 【典例3】如图，在中，． （1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：． （2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由． 一、单选题 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（       ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 3．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（       ） A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 4．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（       ） A． B． C．4 D． 5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（       ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 二、填空题 7．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 8．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为 _____． 10．如图，是边长为5的等边三角形，，．E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为______． 11．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________． 三、解答题 12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． 【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路B