专题1.7 正方形十字模型（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.7 正方形十字模型 【例题精讲】 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，交于点，．求证：． 【解答】证明：四边形是正方形， ， ， ，， ， 又， （同角的余角相等）， 在和中 ， ． ． 【题组训练】 1．如图，点，分别是正方形的边，的中点，与交于点，连接． （1）写出线段与的数量关系和位置关系，并证明； （2）求证：． 【解答】证明：（1）且．理由如下： 四边形是正方形，，均为中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）延长交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点． （1）证明：； （2）连接，求证：． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， 又， ， ， ； （2）如图所示，延长交的延长线于， 是的中点， ， 又，， ， ， 即是的中点， 又， 中，． 3．如图，正方形中，，分别为，上的点，且，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，垂足为， ， ， 在与中，， ， ； （2）解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 即：， 设，则， ， 解得：，（不合题意舍去）， ， ． 4．如图，正方形中，点，分别在边，上，且，连接，相交于点． （1）当时，　40　； （2）判断与的关系，并证明． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2），的位置关系互相垂直， 证明：由（1）知， ， ， ， ， 即，的位置关系互相垂直． 5．如图，在正方形中，点在上，且不与、重合，的垂直平分线分别交、于、两点，垂足为，过作于． （1）求证：； （2）若正方形的边长为12，，求线段的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 在与中， ， ， ； （2）解：由勾股定理得，． 是的垂直平分线， ， ． 由（1）知，， ， ． 6．如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，且． （1）求证：； （2）如图2，在正方形中，、、、分别是边、、、上的点，且．与是否相等？并说明理由． 【解答】（1）证明：在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：与相等． 理由如下：如图，过点作交于，过点作交于， ，， 四边形与四边形是平行四边形， ，， 在正方形中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ． 9．如图，在正方形中，，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， （2）由（1）知，， ， ， ． 10．已知正方形，、分别在、上，，、相交于点． （1）求证：； （2）当是中点时，求证：． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）方法一：如图，过点作于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是中点， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 方法二：如图，延长，与交于点， 是中点， ， 在正方形中，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即． 11．已知正方形，、分别为边、上的点，． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1）四边形为正方形， ，， 在与中， ； （2）设与交于， ， ， ， ． 12．综合与实践： 如图，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，若，连接，当点在边上运动的过程中．是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，及此时的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）证明：如图2，延长，交于点， 点是的中点， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． （3）解：存在最小值． 如图3，以为直径作，连接，， ， ， 点在以为直径的上， 在中，， 当点在上时，有最小值， 此时：如图4， ，点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可得， ． 13．如图1，为正方形的边上一动点与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度． 【解答】解：（1）在正方形中有：，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，延长、交于一点， 当点为中点时，为中点，即