专题1.6 正方形对角互补模型（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.6 正方形对角互补模型 【例题精讲】 如图，正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交边于点． （1）求证：； （2）写出线段，的数量关系并加以证明； （3）若，，求的长． 【解答】（1）证明：过点作于，交于点，如图： 四边形为正方形， ，，， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； （3）解：设．由（1）得：， 由（2）得， ， ， ， ， 解方程得：，（舍去）， ． 【题组训练】 1．如图，已知正方形，是对角线上任意一点，为上的点，且，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）求证：． 【解答】解： （1）证明：四边形是正方形， ，平分， ，， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，是正方形的对角线，点是的中点，点是上一点，连接，于点，交于点，连接，； 求证： （1）； （2）． 【解答】证明： （1）四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）连接． （6分） 由（1）：可知：， 四边形是正方形， ，， 而点是中点， ， 在和中，． ， ． 3．如图，已知正方形，是对角线上任意一点，，，垂足分别为点和，交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求证：． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，平分，（1分） ，， ， 四边形是矩形，（2分） 平分，，， ，（3分） 四边形是正方形；（4分） （2）四边形是正方形， ，， ， ， ，（5分） 在和中， ， ，（6分） ．（7分） 4．如图1，在正方形中，点在边上，连接交对角线于，过点作交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，当且为中点时，试求的长． 【解答】（1）证明：过作交于，交于，如图： ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：延长到，使得，连接，，如图： ，，， ， ，， ， ，即， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， 在中，， ， 解得， ． 6．如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射线交射线于点． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，是对角线， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）解：如图1所示，由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； 如图2所示， 同理可得，， ，， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得，， ，， ， ． 综上所述：的长为：，． 7．如图1，在正方形中，点在边上（不与点，重合），交对角线于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，连接，，若，求正方形与的面积之比． 【解答】证明：（1）连接， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作于， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，（负值舍去）， ； （3）如图，在上截取，连接， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 正方形与的面积之比． 8．正方形的对角线、相交于，直角三角板的直角顶点在线段上，、与、边相交于、． （1）如图1，若点与点重合，求证：； （2）如图2，若点不与点重合： ①还等于吗？说明理由； ②试找出、、三者之间的等量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）在正方形中，，且，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 过作，， 由正方形可知，平分， ， ， ，而， ， ； （3）由可知，，而， ， ， ． 答：（1），（2），（3）． 9．如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，连接、． （1）求证：； （2）当时，求四边形的面积； （3）如图②，过点作交于点，当时，若，求的长． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）如图①，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ； （3）如图②，过作， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 解得，， ． 11．如图①，在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图②，连接，当，时，求的长． 【解答】（1）证明：如图①，连接， 在正方形中，，， 在和中，， ， ，， ， 在四边形中，， 又， ， ， ， ； （2）如图②，把顺时针旋转得到，则，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，