专题1.5 四边形存在性问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.5 四边形存在性问题 【例题精讲】 如图，以的各边，在边的同侧分别作三个正方形，，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． （3）直接回答下面两个问题，不必证明： ①当满足什么条件时，四边形是矩形？ ②当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【解答】（1）证明：四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，，． （同为的余角）． 在和中， ， ， （2）， ，． 是正方形的对角线， ． ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）． （3）①当四边形是矩形时，． 则， 即当时，平行四边形是矩形； ②当四边形是正方形时，，且． 由①知，当时，． 四边形是正方形， ． 又四边形是正方形， ， ． 当且时，四边形是正方形． 【题组训练】 菱形存在性 1．在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形，并证明． 【解答】（1）证明：是的中点， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：时，四边形是菱形． 理由如下：， ， ，是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 2．如图，在中，是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接、，当平分时，求证：四边形是菱形． 【解答】（1）证明：四边形为平行四边形， ． 点在的延长线上， ． ． 是中点， ． 在和中，， ； （2）证明：， ． ，， 四边形是平行四边形． 平分， ． ， ， ． ． 四边形是菱形． 3．已知：如图，在中，，平分，，垂足为，．连接，交于点． （1）求证：； （2）点在上，连接，．现有三个论断：①；②；③．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形． 【解答】（1）证明：，的平分线交于，， ， 在和中，， ； （2）选择①． 证明如下：， ， 平分， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 4．如图，已知，，且． （1）请你判断是的中线还是角平分线？请证明你的结论； （2）连接，，是否可以在中添加一个条件，使四边形是菱形？如果可以，试写出这个条件；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）是的中线．（1分） 理由如下：，， （1分） 又，， ．（2分） ，即为的中线； （2）不可以．若四边形是菱形，则，与垂线段最短矛盾，故不可能是菱形． 矩形存在性 5．如图，中，点是边的中点，过作直线，的平分线交直线于点，点是的边延长线上的点，的平分线交直线于点．求证：四边形是矩形． 【解答】证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 6．已知：如图，中，平分交于点，为中点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【解答】（1）证明：， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ， ， 平行四边形是矩形． 7．已知在四边形中，作交于点且，交于点，连接，，．求证：四边形为矩形． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形为矩形． 8．如图，，且，是的中点，线段和相交于点 （1）求证：； （2）连接、，若要使四边形是矩形，则需要给添加什么条件，请说明理由． 【解答】（1）证明：，是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：要使四边形是矩形，添加条件是等腰三角形，，理由如下： ，是的中点， ， ， 四边形是平行四边形 ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 9．如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线分别交、外角的平分线于点、． （1）若，，求的长； （2）连接、．问：当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【解答】解：（1）平分， ， 平分， ， ， 在中，， ， ， ， 同理， ； （2）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．理由如下： 连接、，如图所示： 当为的中点时，， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 10．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．给出下列信息：①；②；③． （1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：； （2）在（1）的条件下，连接、，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【解答】解：（1）选择，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ； （2）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： 当为的中点时，， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ，， ， 即， 平行四边形是矩形． 11