专题1.4 证明综合（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.4 证明综合 【例题精讲】 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形； （3）若，，求菱形的面积． 【解答】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ； （2）证明：由（1）知，，则． 为边上的中线 ， ． ， 四边形是平行四边形， ，是的中点，是的中点， ， 四边形是菱形； （3）连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ． 【题组训练】 1．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， （2）∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 3．如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【解答】解：（1）证明：如图， 在中，点是的中点， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点是的中点，即垂直平分， ， 平行四边形是菱形． （2）如图，过点作于点， 由（1）知四边形是菱形，又，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 4．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【解答】解：在菱形中，有且， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）设，则， 则， 在直角三角形中，有， ， 解得：， ． 5．已知：如图，平行四边形中，为对角线、的交点，平分．在上截取，在上截取．连结、、、． （1）求证：是菱形． （2）判断四边形的形状并证明． 【解答】证明：（1）在平行四边形中，有， ， 平分， ， ， ， 为菱形． （2）四边形为正方形． 证明：为菱形， 且， ，， ，，，都是全等的等腰直角三角形， 四边形为正方形． 6．如图，在矩形中，，，点是边上一点（不与，重合），连接，过点作交边于点，连接． （1）当时，求的长； （2）取的中点，连接，，，求的长． 【解答】解：（1）， ，， ，， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， 解得， ． （2）方法1，如图2，过作于，则， ， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 是梯形的中位线， ，即， ． 方法2、点是的斜边中点， ， ， 点是的斜边的中点， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 7．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形； （3）若，，求菱形的面积． 【解答】（1）证明：①， ， 是的中点，是的中点， ，， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知，，则． ， ． ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （3）连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ． 8．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）若，，求四边形的周长． 【解答】（1）证明：，为的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又点是中点， ， ； （2）证明：， 四边形是菱形， （3）解：设，则，， 在中，， ，即， 解得：， 四边形的周长． 9．如图，在中，于点，延长至点使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【解答】（1）证明：， ． 即． 在中，且， 且． 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形，， ． ，， ． ． ， 的面积． ． 10．如图，在中，，分别是，上的点，且，．求证：四边形是菱形． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 11．如图，、相交于点，且是、的中点，点在四边形外，且，求证：四边形是矩形． 【解答】证明：连接，如图所示： 是、的中点， ，， 四边形是平行四边形， 在中， 为中点， ， 在中，为中点， ， ， 又四边形是平行四边