专题1.2 折叠问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.2 折叠问题 【例题精讲】 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为　　 A．12 B．10 C．8 D．6 【解答】解：△， △， △与面积相等， 设，则， ， ， 解得， 的面积． 故选：． 一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形． （1）求证：； （2）当　30　度时，四边形是菱形？说明理由． 【解答】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由翻折知，，， ， ； （2）解：当时四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， ， ． ， 由折叠的性质得， ， ， 四边形是菱形； 故答案为：30． 【题组训练】 1．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接， ，点为的中点， ， 又， ， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴） ， 则， ， ， ． 故选：． 2．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，，则的长为　　 A． B．4 C．4.5 D．5 【解答】解：设，则， ，四边形为矩形，点为的中点， ，． 在△中，，，，， ，即， 解得：． 故选：． 3．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是　　 A．12 B．24 C． D． 【解答】解：在矩形中， ， ， 由折叠的性质得，，，， ． 在△中， ， ，而， ， ，即， ，， ， 矩形的面积． 故选：． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：过点作轴，垂足为，则轴， 四边形为矩形， ，，， ， ，， 由折叠可知：，， ， ，， ， 轴， ， ，， ， 点坐标为，， 故选：． 5．如图，把正方形纸片沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为；再过点折叠，使得点落在上的点处，折痕为，则的值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设正方形纸片的边长为． 由题意可知：，，，， ， ． 设，则． 在中，， ， ， ， ． 故选：． 6．如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：， 即． 故选：． 7．如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是　　 A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【解答】解：将长方形纸片折叠，落在上的处， ， 折痕为，沿剪下， 四边形为矩形， 四边形为正方形． 故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形． 故选：． 9．如图，正方形纸片的边长为3，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为　　． 【解答】解：正方形纸片的边长为3， ，， 根据折叠的性质得：，， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得：， ，． 故答案为． 三．解答题（共8小题） 10．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，是折痕，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）求折痕的长． 【解答】（1）证明：将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，是折痕， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于，则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即，， ， 在中，由勾股定理得：． 11．将矩形折叠使，重合，折痕交于，交于， （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的边长； （3）在（2）的条件下折痕的长． 【解答】（1）证明：矩形折叠使，重合，折痕为， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平时四边形， ， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长为，则，， 在中，， ，解得， 即菱形的边长为5； （3）解：在中，， ， 在中，， ． 12．如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点． （1）求证：； （2）若的面积与的面积比为，求的值． 【解答】（1）证明：将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）解：过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 的面积与的面积比为， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， ， 在中，， ． 13．如图，在矩形中，，是上的一点，将沿着折叠，点刚好落在边上点处；点在上，将沿着折叠，点刚好落在上点处，且． （