专题1.8 正方形半角模型（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.8 正方形半角模型 【例题精讲】 在正方形中，点，分别在边，上，且． （1）将绕着点顺时针旋转，得到（如图①，求证：； （2）若直线与，的延长线分别交于点，（如图②，求证：． 【解答】（1）证明：绕着点顺时针旋转，得到， ，，，， ， ， 即， 在和中，， ； （2）证明：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ． 【题组训练】 1．如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且．求证：矩形是正方形． 【解答】解：四边形是矩形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形． 2．如图，在正方形中，、分别是、边上的点，． （1）如图（1），试判断，，间的数量关系，并说明理由； （2）如图（2），若于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）解：；理由如下： 如图1，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， 故， 在和中， ， ， ， 即； （2），理由如下： 四边形为正方形， ，， 把绕点顺时针旋转得到，如图2， ，，， 而， 点在的延长线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 3．如图，在矩形中，点，分别在，边上，且，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形． （2）解：由（1）可知：， 又，， 由勾股定理得，， 四边形是正方形， ． 4．正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【解答】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，且， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则． 5．（1）如图①，点、分别在正方形的边、上，，连接，求证：． （2）如图②，点，在正方形的对角线上，，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， 如图①：延长，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）， 理由如下： 如图②，将绕点顺时针旋转，可得， 由旋转的性质可得，，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．（1）如图1，点、分别在正方形的边、上，，求证：； （2）如图2，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足什么关系时，仍有，说明理由． 【解答】证明：（1）如图1：把绕点逆时针旋转至， 则， ，，， 又，即， ， 在和中， ， ． ． 又， ， ； （2）当时，仍有， 理由如下：如图2，延长至，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 7．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用） （1）如图1，在正方形（四条边都相等，每个内角都是中，是上一点，是上一点，是延长线上一点，且，．求证：． （2）如图2，已知：平分，，，．求证：． 【解答】证明：（1）在正方形中，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）延长到使， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 8．（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【解答】（1）证明：在正方形中， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点，截取，使．连接、． ，，． ，． 在和中， ， ． ，． ，， ． 于是，由， 得． 在和中， ， ． ． 在中，由勾股定理，得． ． ，， ， ． 9．如图，四边形是正方形，点是边上的动点（不与点、重合），将射线绕点按逆时针方向旋转后交边于点，、分别交于、两点． （1）当时，求的度数； （2）设，试用含的代数式表示的大小； （3）点运动的过程中，试探究与有怎样的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ， ， ； （2）四边形是正方形， ， ， ， ； （3），理由如下： 延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ，， ， 又是与的公共边， ， ． 10．如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，． （1）求证：； （2）若点在边上，且，，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， 即， 又， ， 在中， ， ， ． 11．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1）求证：四边形是正方形． （2）已知的长为6，求的值． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：