三年(2020-2022)高考数学真题分类汇编10 圆锥曲线（新高考用）

使用说明：本套真题汇编是2020-2022年三年的真题，采用的试卷分别是新高考1、新高考2、全国甲、全国乙以及北京卷。不管老师还是学生，都必须人手一套，好好研究这几套试卷所有的题目，这样才能知己知彼，百战百胜！ 圆锥曲线 2022年 1. （新高考1）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 【答案】BCD 【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 2. （新高考1）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 3. （新高考1）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 4. （新高考2）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 5. （新高考2）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即；故答案为： 6. （新高考2）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 【答案】 【解析】令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： 7. （全国乙理）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点轴上方，代入得，， 所以.故选：B 8. （全国乙理）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 9. （全国乙理）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或； 【解析】依题意设圆的方程为， 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 故答案为：或或或； 10. （全国甲理）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 设，则， 则， 故， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率