三年(2020-2022)高考数学真题分类汇编7 数列（新高考用）

使用说明：本套真题汇编是2020-2022年三年的真题，采用的试卷分别是新高考1、新高考2、全国甲、全国乙以及北京卷。不管老师还是学生，都必须人手一套，好好研究这几套试卷所有的题目，这样才能知己知彼，百战百胜！ 数列 2022年 1. （新高考2）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故，故选：D 2. （全国乙理）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. 3.（全国乙理） 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾，所以， 则，解得， 所以.故选：D. 4. （全国乙理）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】由可得，化简得， 即，解得. 5. （北京）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 6. （新高考1）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】【小问1详解】 ∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 ∴ 7. （新高考2）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】【小问1详解】 设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 8. （全国甲理）记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】【小问1详解】 解：因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时． 2021年 1．（新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　；如果对折次，那么　　． 【答案】5；． 【解析】易知有，，共5种规格； 由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故， 则，记，则， ， ，．故答案为：5；． 2．（新高考Ⅱ）（多选）设正整数，其中，，记，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：方法，，对； 当时，，（7）．，（2），（7）（2），错； ， ．， ．对； ，，对． 方法2，：根据题意得， 为的二进制表示下各位数字之和． 对于选项，在二进制意义下为末尾添0，不改变各位数字之和． 对于选项，是二进制意义下末尾添0，然后加上，可能会改变各位数字之和，如． 对于选项，是二进制意义下末尾添101，是二进制意义下末尾添11，各位数字之和相等． 对于选项，，各位数字之和为． 综上所述：选项符合题意． 3. （全国甲文）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】∵为等比数列