三年(2020-2022)高考数学真题分类汇编5 函数与导数（新高考用）

使用说明：本套真题汇编是2020-2022年三年的真题，采用的试卷分别是新高考1、新高考2、全国甲、全国乙以及北京卷。不管老师还是学生，都必须人手一套，好好研究这几套试卷所有的题目，这样才能知己知彼，百战百胜！ 函数与导数 2022年 1. （新高考1）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】由题，，令得或， 令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D错误故选：AC. 2. （新高考1）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 3. （新高考1）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 4. （新高考2）已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 5. （新高考2）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 6. （全国乙理）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因，所以. 所以. 故选：D 7. （全国乙理）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，当时，， 若时，当时，，则此时，与前面矛盾， 故不符合题意， 若时，则方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， ∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数， 又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为， 故切线方程为， 则有，解得， 则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得， 又，所以， 综上所述，的范围为. 8. （全国乙文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D.故选：A. 9. （全国乙文）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 10. （全国乙文）若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 11. （