【新课】专题07 直线与圆的位置关系-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

直线与圆的位置关系 【知识梳理】 知识点1：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 位置 相交相切 相离 交点个数 2个 1个 0个 图形 与的关系 方程组的解的情况 有两组不同的解 仅有一组解 无解 2.直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系的判定有两种方法： （1） 代数法：已知直线（A，B不同时为0），圆C： 如果直线和圆C有公共点，由于公共点同时在直线和圆C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线和圆C的方程联立得方程组： 可以用消元法将方程组转化为一个关于（或）的一元二次方程，其判别式为△，有： ①若△<0，则直线与圆相离； ②若△=0，则直线与圆相切； ③若△>0，则直线与圆相交. （2） 几何法：如果直线与圆C的方程分别是和，可以用圆心C（）到直线的距离的与圆C的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系： ①直线与圆相交； ②直线与圆相切； ③直线与圆相离. 知识拓展：过直线与圆交点的圆系方程 当直线与圆相交时，经过它们交点的圆都可以用方程表示，则称这个方程是过直线和圆交点的圆系方程. 要确定圆系中的一个圆的方程，只需要另外再有一个独立条件即可求得的值，从而可求出圆的方程. 知识点2：圆的切线方程及其求法 1. 在圆上，求过点的圆的切线方程 （1） 当点在圆上时，过点的圆的切线方程为. （2） 当点在圆上时，过点的圆的切线方程为. （3） 当点在圆上，则过点的圆的切线方程为. 2.斜率为且与圆相切的切线方程的求法 （1）几何法：先设切线方程为，化为一般式，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求； （2）代数法：设切线方程为,与圆的方程联立，化为关于的一元二次方程，再利用判别式为0，求出. 3.过圆外一点与圆相切的切线方程的求法 （1）先假设切线斜率存在，有下列两种求的方法： ①几何法：设切线方程为，化为一般式.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由此解出； ②代数法：设切线方程为=，与圆的方程联立，化为关于的一元二次方程，在利用判别式为0，求出. （3） 若通过上述方法只求出一个斜率，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线方程为. 【典型例题】 题型1：直线与圆的位置关系的判断 1. 直线与圆的位置关系为 A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 【答案】B 【解答】解：圆心到直线的距离． 又直线不过圆心， 直线与圆相交但不过圆心． 故选B． 2. 已知圆C：，l是过点的直线，则 A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能 【答案】A 解：将点的坐标代入圆的方程，得322， 点在圆内． 过点P的直线l必与圆C相交． 故选A． 3. 直线与圆的位置关系是（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定. 【详解】 因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故选：B. 4. (2020·江苏省南通市·期中考试)已知点在圆O：外，则直线与圆O的位置关系是 A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【解答】解：由题意知点在圆外，则a22， 圆心到直线的距离，故直线与圆相交． 故选B 5. (2021·广西壮族自治区·月考试卷)若圆与直线没有公共点，则实数k的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解答】 解：由圆与直线没有公共点，可知圆心到直线的距离大于半径长， 即，解得，即． 故选A． 6. 已知集合，，若只含有一个元素，则 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解答】解：由只含有一个元素，知直线与圆相切， 所以，解得． 故选B． 7. (2019·浙江省金华市·单元测试)求实数m的取值范围，使直线与圆分别满足： 相交； 相切； 相离． 【答案】解：圆的方程化为标准式为22， 故圆心到直线的距离，圆的半径． 若相交，则，即， 所以或， 所以实数m的取值范围是； 若相切，则，即， 所以； 若相离，则，即， 所以， 所以实数m的取值范围是． 题型2：直线与圆相切的问题 8. 直线与圆相切，则 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解答】解：由圆心到直线的距离，解得． 故选D． 9. (2015·全国·单元测试)若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________． 【答案】 【解答】解：由题意，得， 则该圆在点P处的切线方程的斜率为， 所以所求切线方程为，即． 故答案为． 10. 由点引圆的切线的长是 A. 2 B.