11.3.2 多边形的内角和（教学设计）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

11.3.2 多边形的内角和 教学设计 一、教学目标： 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 二、教学重点、难点： 重点：多边形的内角和以及外角和. 难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和. 三、教学准备： 课件、量角器、直尺（三角尺）、教具（全等四边形四个） 四、教学过程： 复习回顾 【设计意图】通过回顾上节课多边形从一个顶点出发的对角线条数和分得的三角形个数等问题，为本节课探究多边形内角和做好铺垫。 知识精讲 思考：三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于_____，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？ 在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)， ∵ ∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°， ∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°， 即四边形的内角和等于360°. 还有其它的方法吗？ 证法2：如图，在AB边上任取一点E，连接CE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AED+∠BEC+∠CED)=180°×3-180°=360°. 证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD的内角和为： 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°. 证法4：如图，在四边形外任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD，将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 由图可以得到，四边形ABCD的内角和等于△APD、△CPD、△BPC的内角和相加再减去△APB的内角和， 所以四边形ABCD的内角和为180°×3－180°= 360°. 归纳总结： 【点睛】这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经 学过的三角形内角和求解. 【结论】四边形的内角和为360°. 探究： 归纳：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n-2). 这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 【尝试验证】用把一个多边形分成几个三角形的其他分法来验证是否能得出多边形的内角和公式？ 典例解析 例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°， ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°， ∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°， 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 【针对练习】求下列图形中x的值： 解：(1)x+x+140+90=360，解得 x=65. (2)90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60. (3)75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95. 例2.如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 【分析】考虑以下问题: (1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系? (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角所得总和是多少? (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系? 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°. 因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于 6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°. 思考：如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？ n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180° =n×180°-n×180°+2×180° =2×180° =360°. 多边形的外角和等于360° 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 思考：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是