第04讲 空间向量的应用（4大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间向量的应用（4大考点） ( 考点 考向 ) 一、空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 【微点拨】先建系，利用待定系数法求平面法向量，根据法向量与平面内的两条不共线的向量垂直，计算出平面的一个法向量． 二、空间中直线与平面、平面与平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 三、 空间中直线与平面、平面与平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 四、用空间向量研究距离与夹角问题 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离 . 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为 . 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ ( 技巧 方法 ) 1．应用向量法证明线面平行问题的方法: (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行． 2．证明面面平行的方法:设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 3.利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行． 4.利用空间向量证明面面垂直的方法： （1）利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题． （2）直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 5.向量法求点N到直线l的距离的步骤: 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ . 6.求点到平面的距离的四个步骤: 用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距． 7.求异面直线所成角的方法: (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)坐标法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线 所成的角． 【提醒】两条异面直线所成的角的取值范围是. 8.求直线与平面的夹角的方法与步骤： 思路一：找直线在平面内的射影，