1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系（导学案）答案版-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》 （第1课时）导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 （二）用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. 2.空间直线的向量表示式 如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,　① 或+t.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. 3.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 【思考1】【提示】在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量．一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值． 【思考2】【提示】在平面内找两个不共线向量a，b，设出平面的一个法向量n＝(x，y，z)，列方程组，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值，即可求出平面的一个法向量．由于赋值法不唯一，所以求出的法向量也不唯一，但所有的法向量均平行． 【做一做】【答案】D 【解析】∵ 在直线上，∴ 直线的一个方向向量， 又∵，∴是直线的一个方向向量．故选：D． 知识点2 空间向量与平行关系 【探究】　(1)l1∥l2⇔u1∥u2；(2)l1∥α⇔u1⊥n1；(3)α∥β⇔n1∥n2.　 ◆空间向量与几何中的平行关系 位置关系 向量表示 图示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 【做一做1】【答案】－8 【解析】∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直， ∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8. 【做一做2】【答案】D 【解析】因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合.故选：D. （三）典型例题 【例1】 【解析】(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， (2)设平面的法向量为， 因为，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， (3)设平面的法向量为， 因为，所以，令，则 所以平面的一个法向量为 【巩固练习1】 【解析】易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，C(，1,0)，D1(0,3,3)．＝(0,3,3)，＝(，1,0)， 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量．则即 令x＝1，则n＝(1，－，)．所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)．　 【例2】 【证明】以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面. 【巩固练习2】【证明】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由与平面所成的角为，得，则， 则，，，，，， ，，. 设平面PFB的法向量为，则，即. 令，则，，故平面的一个法向量为. ，， 又平面PFB，则平面PFB. 【例3】【证明】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 得， 所以，即， 又平面HMN，平面HMN， 所以平面HMN，平面HMN， 又平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG平面HMN. 【巩固练习3】【证明】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，,,,,, 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得所以 设平面的一个法向量为，则 即，令，解得所以所以 ∴平面∥平面