3.1 函数的概念及其表示（教案）-2022-2023学年高一数学教材配套教案（人教A版2019必修第一册）

3.1 函数的概念及其表示 · 考纲要求 1．理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则． 2．掌握判定函数和函数相等的方法． 3．学会求函数的定义域与函数值． 4．明确函数的三种表示方法． 5．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． · 知识解读 知识点①函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点②函数的三要素 1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系． 2．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 知识点③区间概念(a，b为实数，且a＜b) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 右闭左开区间 其它区间的表示 定义 R 符号 知识点④函数的表示法 表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法． 知识点⑤分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 知识点⑥常用结论 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． · 题型讲解 题型一、函数的概念 例1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) 例2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x 例3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　) A．3　　　 B．2　　 C．1　　 D．0 题型二、函数的定义域 · 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y＝tan x的定义域为. · 求复合函数定义域的方法 (1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 例4．函数y＝＋的定义域为(　　) A．{x|x≤1}　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 例5．若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________． 例6．若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________． 题型三、求函数的解析式 · 求函数解析式的3种方法 待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 解方程组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 例7．求下列函数的解析式 (1)已知f＝x，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 例8．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为_____________. 例9．已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________. 题型四、分段函数 考点一、分段函数求值问题 例10．设f(x)＝则f(f(－1))＝________． 例11．已知f(x)＝，则f(7)＝_________. 考点二、分段函数求参数或自变量的值(范围) 例12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝_________. 例13．已知f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_________