专题1.6 等腰直角三角形斜边中点旋转模型（强化）-【题型分层练】2022-2023学年八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.6等腰直角三角形斜边中点旋转模型 1．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边 ，分别交，于点，．以下结论错误的是　　 A． B． C．三角形是等腰直角三角形 D． 【解答】解：如图，，分别交，于点，， 点为边上的任意一点， 与不一定相等， 故错误； ，， ， 为中点， ，， ，， ， ， ， 故正确； 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故正确； ， ， ， ， 故正确， 故选：． 2．如图，在中，，，若点为的中点，过点作，分别交，于点，，连接，则下列结论中： ①是等腰直角三角形； ②的周长有最小值； ③四边形的面积为定值8； ④的面积有最小值； ⑤的面积有最大值． 正确的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：是等腰直角三角形，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，故①正确； 当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确； ， 四边形的面积为的面积， ， 的面积为， 的面积为4， 四边形的面积为定值4，故③错误； 当的面积有最小时，此时的面积最大，故⑤正确， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：． 3．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动（不与端点重合），且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是12；③．其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【解答】解：①连接， ，， ， 是边上的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形，所以此结论正确； ②， 四边形的面积，故②错误； ③， ， ， ， ， ，故③正确， 故选：． 4．如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，给出以下四个结论： ①；②；③是等腰直角三角形；④当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），．上述结论中始终正确有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：，，直角的顶点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ，即结论①正确； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 又不一定是的中位线， ，故结论②错误； ， ， 又， 是等腰直角三角形，故结论③正确； ， ， ，故结论④正确； 综上，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），始终正确的有3个结论． 故选：． 二．解答题（共14小题） 5．已知：如图所示中，，，是中点，、分别是、边上的两动点，无论、如何运动，始终保持．求证：是等腰直角三角形． 【解答】证明：连接， 是中点，中，，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形． 6．如图，在中，，点为中点，点为线段上一点，，交于点，试给出线段、、之间的数量关系并证明． 【解答】证明： 延长到，使，连接，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ． 7．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且，若，，求线段的长． 【解答】解：连接， 是等腰直角三角形，，是斜边的中点， ，， ， ， 又， ． 在与中， ， ． ．， ， ． 在中，， ， ， ． 8．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，．分别是、边上的点，且， （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【解答】解：连接， 在中，，为边的中线， ，，， 又，， ， 在与中， ， ． ； （2） ， ， ， ． 9．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，分别是，边上的点，且． （1）证明：； （2）证明：． 【解答】证明：（1）连接， 等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，平分， ，， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， 即． 10．如图，、是等腰的斜边上的两动点，，且． 求证：（1）； （2）． 【解答】证明：（1）是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 11．已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作． （1）如图1，当，且时，试说明和的位置关系和数量关系； （2）如图2，当，且点在边上时，求证：． 【解答】解：（1）与位置关系是，数量关系是． 理由：， ，， ， 在和中， ， ， 且． ， ，即； （2）如图2，把绕点顺时针旋转，得到．连接， 则， ，，． ，． ， 在和中， ， ． ， 又， ， 即； 12．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1）和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ； （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）得， ， ， ． 13．