专题1.1 勾股树模型（强化）-【题型分层练】2022-2023学年八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.1 勾股树模型 1．如图，在中，分别以，，为直径向外作三个半圆，其面积分别为，，，若，，则　　 A．18 B．20 C．22 D．24 【解答】解：， ， ； ； ； ， 即． ，， ， 故选：． 2．如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为　　 A．225 B．250 C．275 D．300 【解答】解：设，则， 由勾股定理得：， 的周长为12， ， 解得：， ，，， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：， 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：， 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：， 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：， 故选：． 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则　　 A．54 B．52 C．48 D．36 【解答】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可知： ； 即； 故选：． 4．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：由勾股定理得：， 则， 故选：． 5．如图，中，，以、为边分别作等边三角形、，、的面积分别为、，若，那么　　 A． B． C．6 D．12 【解答】解：过点作，如图， 是等边三角形， ，， ， 的面积为， ， 整理得：， 同理可求， ，， ， ， 解得：． 故选：． 6．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【解答】解：由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023． 故选：． 7．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形、、、的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形的面积是　　 A．66 B．16 C．32 D．23 【解答】解： 根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：． 8．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则　　 A．184 B．86 C．119 D．81 【解答】解：由题意可知：，，，， 连接，在直角和中， ， 即， 因此， 故选：． 9．如图，中，，分别以边，，向外作正方形，正方形的面积为25，正方形的面积为169，则正方形的面积是　　 A．194 B．144 C．122 D．110 【解答】解：在中，， ， 正方形的面积为25，正方形的面积为169， ，， ， 正方形的面积， 故选：． 10．如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为　　 A．36 B．64 C．28 D．100 【解答】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边长是8和6； 解图中直角三角形得正方形的边长：，所以正方形的面积为100． 故选：． 11．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形、、、的面积之和为 　49　． 【解答】解：如图，设正方形，，，，，的边长分别为，，，，，， 该图形是由直角三角形和正方形构成， 由勾股定理可得，，， ， 正方形、、、的面积之和为49， 故答案为：49． 12．如图，以正方形的边为直径作一个半圆，点是半圆上一个动点，分别以线段、为边各自向外作一个正方形，其面积分别为和，若正方形的面积为10，随点的运动的值为　　 A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定 【解答】解：为半圆的直径， ， ， ，， ． 故选：． 13．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以、、为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、，则的值为　　 A．25 B．175 C．60