第06讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第6讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法） ( 目标导航 ) 课程标准 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念 通过化简后，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 (二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件 （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是 二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项． 注意： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3．一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4．一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 知识点02 一元二次方程的解法 （一）直接开方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 利用 直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2．直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. 3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 . 注意： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. （二）配方法解一元二次方程： 1．配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . 3．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 4．配方法的应用 （1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件