2.2.1 双曲线及其标准方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 第二章　圆锥曲线 (教师独具内容) 课程标准：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 核心素养：1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的标准方程，提升数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) c2＝a2＋b2 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了． (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形． (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 2．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置． (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值． × × √ 4或12 (－1，＋∞) 2 核心素养形成 PART TWO 解 题型一 求双曲线的标准方程　 解 解 [解法探究]　本例(1)有没有其他解法呢？ 解 解 解 题型二 双曲线定义的应用 解 解 双曲线定义的两种应用 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． (2)双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有 解 解 解 题型三 与双曲线有关的轨迹问题 解 用定义法求轨迹方程的一般步骤 (1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)． [跟踪训练3]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， ∴圆心为F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42， ∴圆心为F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1， |MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10， 解 解 例4　某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知|PA|＝100 km，|PB|＝150 km，|BC|＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程． 题型四 双曲线的实际应用题 解 解 解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中．本题由题意能得到所求界线是以A，B为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|，故所求界线为双曲线的右支．由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程．此题极易忽略x和y的取值范围．因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围． [跟踪训练4]　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少． 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 2．若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 答案 解析