3.3 幂函数-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1.幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 (　　) A． B． C． D． 答案 解析 由图象得：，故选：． 2.若三个幂函数在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是(　　) 答案 解析 ①，单调递增，且当时，在直线的上方，， ②，单调递增，且当时，在直线的下方，， ③，单调递减，且当时，在直线的下方，； ． 故选：． 3.任意两个幂函数图象的交点个数是(　　) A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 答案 解析 所有幂函数的图象都过故最少个交点， 当函数为和时，它们有个交点，故选． 4. 幂函数经过点，则是(　　) A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 答案 解析 设幂函数的解析式为：， 将代入解析式得：，解得，， 故选：． 5.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　) 或 答案 解析 幂函数在上是减函数， 则，解得； 又，，，； 当时，，图象关于原点对称； 当时，，其图象不关于原点对称； 当时，，其图象关于原点对称； 综上，的值是或． 故选：． 二、多选题 6. 已知幂函数的图象经过点，则( ) A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．函数的图象一定经过点 D．函数的最小值为 答案 解析 幂函数的图象经过点， ，，， 是非奇非偶函数，故错误，函数是增函数，故正确， 函数图象不过，故错误，函数的最小值是0，故正确， 故选：． 三、填空题 7.已知是幂函数，则 . 答案 解析 函数是幂函数， 根据幂函数的定义知，，解得，； 所以． 8．幂函数的图象过点，则______． 答案 解析 设，则，所以． 所以．所以． 9.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　． 答案 解析 ， 幂函数为奇函数，且在上递减， 是奇数，且，． 四、解答题 10.已知幂函数，且． (1)求函数的解析式； (2)证明函数在定义域上是增函数． 答案 (1) (2)略 解析 (1)解：由得，，所以； (2)证明：定义域是，设任意的， 则， ，， 函数在定义域上是增函数． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1. 下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当0时，幂函数的图象是一条直线； ④当0时，幂函数是增函数； ⑤当0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 答案 D 解析 ①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，故错误； ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确； ③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误； ④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误； ⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小，故正确． 故选：． 2.已知指数函数且)的图象恒过定点，若定点在幂函数的图象上，则幂函数的图象是(　　) ． ．． ． 答案 解析 指数函数且)的图象恒过定点， 令，解得，且， 所以的图象恒过定点； 设幂函数，在幂函数的图象上， 可得：，解得；所以， 幂函数的图象是． 故选：． 3. 对于幂函数，若，则，大小关系是(　　) ． ． ． ．无法确定 答案 解析 幂函数在上是增函数，图象是上凸的， 当时，应有． 故选：． 4.如图所示是函数(且互质)的图象，则(　　) 是奇数且 是偶数，是奇数，且 是偶数，是奇数，且 是偶数，且 答案 解析 函数的图象的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数， 在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：. 5.已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且 答案 解析 因为函数为偶函数，所以为偶数，且由图象形状判定． 又因互质，所以为奇数．所以选． 二、多选题 6. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是( ) A．为偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．是上的增函数 答案 解析 设幂函数， ，，， 函数为非奇非偶函数，故错误； 函数的值域为，故正确； 函数为凹函数，